O teorema de Euclides é um considerável teorema da hipótese dos números que anuncia que existem infinitos números primos. Existem inúmeras demonstrações do teorema. Euclides fez a primeira amostra da proposição vinte do livro IX de tua obra Elementos.
1. Este número é, obviamente, superior do que um e contrário de todos os primos pi da lista. O número q podes ser primo ou composto. Se é primo teremos um número primo que não está no conjunto original.
1, mas nenhum número primo divide a 1, quer dizer, se chegou a um absurdo por supor que p é o conjunto original. A resultância é que o conjunto que você escolheu não é exaustivo, porque existem números que não pertencem a ele, e isso é independente do conjunto finito que se tome.
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1. Isso é um absurdo, dessa maneira que deve haver um número infinito de números primos. Um pra cada n. Como qn deve ser maior que n, segue-se que esta seqüência contém infinitos elementos distintos, e que, desse modo, existem infinitos números primos.
Supóngase que existe um número finito de números primos. Tem-Se que todo número primo p divide a, ou m ou n, no entanto não a ambos, isto é, m e n são primos entre si. 1, deve ser um número primo que não divide Q: contradição. Lema: Dois números de Fermat diferentes Fm e Fn são primos entre si.
Para cada número de Fermat Fn, escójase um divisor primo pn. Como os números de Fermat são primos entre si, sabemos que 2 primos quaisquer pm e pn são diferentes. Esta demonstração assim como é válida se você toma outra seqüência infinita de números naturais que são primos entre si, como a seqüência de Sylvester.
Em um post de 1737 intitulado Variae ele por séries infinitas, Euler deu outra amostra. Como a série harmônica diverge bem como há a expressão da direita desse modo que o número de fatores, o número de números primos, deve ser eterno. Seja Q o item de todos os primos. Seja φ(n) a função φ de Euler determinada como o número de inteiros menores que n e inventou ele. Q. Esse inteiro não pode ter nenhum fator primo, pelo motivo de estão todos em Q, de modo que deve ser semelhante a 1, com o que se chega a uma contradição. ∞). Isso gera um espaço topológico.